La geometría fractal estudia las formas naturales en las que se aprecian irregularidades, una estructura en todas las escalas y un parecido de las partes con el todo.
El triangulo de Waclaw Sierpinski parte de un triángulo en el que se repite el siguiente proceso hasta el infinito:
1º Se divide el triángulo en cuatro triángulos iguales.
2º Se elimina el triángulo del medio.
Partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operación con los tres triángulos y, en general, con los triángulos que se vayan formando. El resultado será el triángulo de Sierpinski.
Una conexión muy importante entre el triangulo de Sierpinski y Pascal es:
El triángulo de Pascal presenta unas formas muy concretas cuando se toma cada uno de sus números como una celda que se pinta de color blanco cuando el número al que corresponde es múltiplo de otro número concreto (por ejemplo 3, 5 o 9) o se pinta de negro cuando no es múltiplo.
En todos estos casos el resultado, con variaciones en el tamaño o en la resolución obtenida, siempre presenta formas similares a uno o varios triángulos de Sierpinski. En el caso concreto de divisibilidad por números primos se puede demostrar que al hacer este coloreado siempre se obtiene un triángulo de Sierpinski.
En el triángulo de la derecha aparecen los números del triángulo de Pascal y en el de la izquierda aparece el resultado del módulo 2 para cada uno de ellos.
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